Итак, как все было.
Поставили батарею с моего телефона - все нормально. Мой с его батареей - тот же глюк. Значит, дело в батарее. Два старых радиолюбителя решили ее разобрать. Разбирается не очень сложно, требуется только аккуратность. Удобно делать деревянными зубочистками. Внутри оказалось три тошибовских элемента, с выводов которых два токопровода заведены на крайние контакты батареи. Средний же контакт через какую-то хрень типа диода или стабилитрона должен быть соединен с более длинным токопроводом с помощью точечной сварки. Вот в этом месте оно и отвалилось. Паяльника под руками не было, поэтому просто подогнули вывод диода/стабилитрона чтобы был контакт (тока большого там быть не должно, так что пока и так сойдет). И все заработало
Вот. Может, кому пригодится.