Производные высших порядков[править | править вики-текст]
Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем
{\displaystyle f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0}).} f^{{(0)}}(x_{0})\equiv f(x_{0}).
Если функция {\displaystyle f} f дифференцируема в {\displaystyle x_{0}} x_{0}, то производная первого порядка определяется соотношением
{\displaystyle f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).} f^{{(1)}}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).
Пусть теперь производная {\displaystyle n} n-го порядка {\displaystyle f^{(n)}} f^{{(n)}} определена в некоторой окрестности точки {\displaystyle x_{0}} x_{0} и дифференцируема. Тогда
{\displaystyle f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).} f^{{(n+1)}}(x_{0})=\left(f^{{(n)}}\right)'(x_{0}).
Если функция {\displaystyle u=f(x,y,z)} {\displaystyle u=f(x,y,z)} имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от {\displaystyle x,y,z,} {\displaystyle x,y,z,} может иметь в некоторой точке {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} (x_{0},y_{0},z_{0}) частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции {\displaystyle u=f(x,y,z)} {\displaystyle u=f(x,y,z)} эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).
{\displaystyle u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})} {\displaystyle u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})} или {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}} {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}}
{\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})} {\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})} или {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}} {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}}
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,
{\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})} {\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})}
это точно
